2019.8.26意想不到-【高考数学每日一题】2019.8.26意想不到

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• 梦中的琳达:我是这么想的 1.先看前部分条件，画出图像，先从直观上发现a和b的情况，显然a和b各在一定范围内，且a+b的一半要小于1+√2，（因为b距离零点位置要更近，因为变化率越来越快）其范围可以确定，同理a-b范围也可以确定。但这种确定是不精确的，因为有一个方程的存在，给定a，b就确定，因此他们是平面内的曲线。由于直观发现不了其轨迹是什么，于是将方程翻译下，发现是个圆，并且为圆的一部分。接着看第二部分，一个式子三个量，虽然可以去掉一个量，但是依然存在两个自由变量，因此我们有两种大的方向。一是看看这个式子具有哪些几何意义，二是看成函数研究。 2.从函数角度看，得固定其他变量，把其中一个看成自变量，由于ab的关键性及题目给定任意c，因此直觉把c看成自变量，把式子展开合并，把c^2换元，发现是个二次函数，其函数值≥0，对称轴＜0，自变量≥0，因此，当c^2=0时，取到最小值，代入得a^2+b^2，不妨对圆的轨迹用三角函数表示，注意角度取值范围。从而式子能够表示成三角函数，从而变成一元函数研究。 3.从几何角度，可以把式子看成是圆的轨迹或者是直线，由于有两个自由变量决定，从直观看，可以考虑一些极端位置的点研究，比如c=0，从趋势看，c越往右，其距离越近，至于部分圆，两个特殊位置，上下端点，由于上端点取不到，故舍弃。我们先固定Q点在下端点，在射线上任取异于原点的P点，其构成三角形PQO，根据三边关系判断只有p取在原点为最小。同理固定P在原点，易证Q在下端点取到最小。这种几何直观实际上并不严谨，这样的几何动态分析，相当于二元函数x方向（固定y）取到最值，y方向（固定x取到最值），合起来的xy是不一定取到最值的。从函数角度研究的做法更严谨。 我空间动态有关于解决问题的方法论的研究，大家感兴趣的可以去看看。
• Promise阳炎:好题，直接用基本不等式还会有条件的坑，最好是几何法
• aftershot:代数方法：换元a=1+2cost，b=1+2sint，0≤t＜pi/2，代进去整理，6+4（sint+cost）+2c^4+4c^2(cost-sint)，后面与c相关的部分，系数都是大于0，所以最小时，取c=0，剩下的用辅助角公式 6+4√2sin（t+pi/4）
• 最近超爱蓝小鸟:坑神也11w粉丝了涨的好快啊
• 狐狸家的肉包子:最后求pq最小值部分可以把射线OP视为一个新坐标中的x轴负半轴，在此系下，圆弧部分单调递减，可确定当取圆弧部分最下方时，与射线距离最短，之后就好解决了。